3.1.2Penerapan Induksi Matematis

PERTEMUAN KEDUA

3.2 Penerapan Induksi Matematis

Induksi matematika adalah prinsip pembuktian suatu pernyataan P(n) untuk setiap bilangan asli n. Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika adalah sebagai berikut:

1. membuktika bahwa pernyataan P(n) benar untuk n=1
2. membuktikan bahwa, jika P(n) benar untuk n=k, maka P(n) benar untuk n=(k+1)
3. menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli

Amati contoh penerapan induksi matematis di bawah ini.

Contoh 1 :

Buktikan bahwa :

1 + 2 + 3 + … + n = ½ n(n+1)

untuk setiap n bilangan integer positif

Jawab :

• Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh  1 = ½ 1 . (1+1) ® 1 = 1
• Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan 1 + 2 + 3 + …+ k = ½ k (k+1)
• Untuk n = k+1 berlaku 1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = ½ (k+1) (k+2)

Jawab :

1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = (k+1) (k+2) / 2

1 + 2 + 3 + …+ k + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2

k (k+1) / 2 + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2

(k+1) [ k/2 +1 ] = (k+1) (k+2) / 2

(k+1) ½ (k+2) = (k+1) (k+2) / 2

(k+1) (k+2) / 2 = (k+1) (k+2) / 2

Kesimpulan : 1 + 2 + 3 + …+ n = ½ n (n +1)Untuk setiap bilanga bulat positif n